wqs二分
引入
我们有时候需要解决在一定限制下的最优化问题，通常它们可以写成如下形式：在 $g(x)=b$ 的情况下使 $f(x)$ 最小化（最大化）。
但是很多时候这样的问题难以直接解决，而相应的没有限制的问题通常会更容易解决（即求 $f(x)$ 的最小值）。
所以如果能从无限制问题中的结果得到有限制问题的结果，我们就能更容易地解决原问题。
Lagrange Sufficiency Theorem:
对于问题 $P$：使 $f(x)$ 最小化，其中 $g(x)=b, x\in X$
考虑无限制问题 $P'(\lambda)$：使 $f(x)-\lambda g(x)$ 最小化，其中 $x \in X$。
若 $P'(\lambda)$ 有满足 $g(x_*)=b$ 的解 $x_*$，那 $x_*$ 也是原问题 $P$ 的一个解。
该定理可以用反证法简单地证明。
由上述定理可以看到，如果 $g(x_*)$ 关于 $\lambda$ 有单调性，就可以通过二分 $\lambda$ 和解决 $P'(\lambda)$（比 $P$ 简单）来找到答案
问题 $P$ 关于不同的限制 $b$ 具有凸性（a.k.a. $P(b)-P(b-1)\le P(b+1)-P(b)$），那么$g(x_*)$ 关于 $\lambda$ 就有单调性
一般来说，凸性可以通过暴力算法打印数据找规律猜蒙凑得出