由牛顿第二定律可以得出$m$不变时 $$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}$$

那么在$m$会变时还是这样的吗？

实际上$m$会变时方程是这样的：$$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}-\vec{u}\frac{dm}{dt}$$

其中$\vec{u}$是指$t$时刻时，增加的质量$dm$速度从$\vec{u}$变成$\vec{v}$，或者减少的质量$-dm$速度从$\vec{v}$变成$\vec{u}$

证明

在$t$到$t+dt$的时候，$$\vec{F}dt=\vec{f_{dm}}dt+\vec{f_{m}}dt=(\vec{v}-\vec{u})dm+md\vec{v}=d(m\vec{v})-\vec{u}dm$$

再将$dt$除到右边即可得到上述方程

例子：火箭方程

一个真空中的火箭以相对自身的速度$u$向反方向喷射气体，那么我们可以得到如下方程

$$0=\frac{dp}{dt}-(v-u)\frac{dm}{dt}$$

$$\frac{dm}{dt}v+\frac{dv}{dt}m=(v-u)\frac{dm}{dt}$$

$$\frac{dv}{dt}m=-u\frac{dm}{dt}$$

$$\frac{dv}{dt}=-u\frac{d(\ln{m})}{dt}$$

$$dv=d(-u\ln{m})$$

$$\Delta v=u\ln{m_初}-u\ln{m_末}=u\ln{\frac{m_初}{m_末}}$$