2023-07-17-不动点法求数列通项
今天复习数列，碰到了这个东西。
假设我们有这样的一个递推式 ，那么要求它的通项公式。我们可以先求出它的不动点 ，然后在递推式两端减去不动点 这样有时候能凑出一些特殊的容易处理的结构。
下面是几个例子。
，其中
首先求不动点 显然是有解的
然后两式相减得
于是
，其中对于所有 ， 且 ，，
求不动点
我们把复数解也考虑进来，那么不动点有1个或者2个
式子两端减去一个不动点
如果只有一个不动点，那么由 可得 由此，对上式两端取倒数，然后进行一定处理后能得到 形成等差数列(如果不是全为的常数列)
如果有两个不动点，记为 ，那么有
做商(假设不是常数列，那么两式都不为0)
于是 形成等比数列
其中不动点为复数的情况比较有意思，它们对应的是周期数列(证明见参考资料)
牛顿迭代法求
首先 得
式子两端各自减去两个不动点，然后再做商可得